【三角関数５】位相と振幅と重ね合わせ

sinθとsin2θ，sin3θのグラフは，図1のようになります．

図1

青がsinθ，赤がsin2θ，緑がsin3θです．

波形の振幅は変化しませんが，周期が変化しています．

sin3θとsinθ+sin2θのグラフが，図2のようになります．

図2

青がsin3θ，赤がsinθ+sin2θです．

図2からわかるように，sinθ+sin2θはsin3θではありません．波の足し算は，「重ね合わせの原理」が適用されます．

sinθと2sinθ，sinθ+sinθのグラフが，図3のようになります．

図3

青がsinθ，赤が2sinθ，緑がsinθ+sinθです．赤と緑は波形が完全に重なっており，緑しか見えていません．同じ三角関数，同じ位相ならば，普通に足し算ができます．同じ波形を足し合わせると振幅が2倍になります．

sinθ x sinθである(sinθ)^2は，図4のようになります．

図4

正 x 正，または負 x 負になるため，波形はゼロ以上になります．また，最大値は，1 x 1または，-1 x -1になるため，1となります．

さて，図1のsin2θに戻ります．sin2θは加法定理により，

図5

となります．sin2θと2sinθcosθのグラフが，図6のようになります．

図6

青がsin2θ，赤が2sinθcosθですが，波形が完全に重なっており，赤しか見えていません．数式で同じなので，当然，波形も同じとなります．

少しは三角関数の位相と振幅，重ね合わせがイメージできたでしょうか．

上のグラフは全て【三角関数３】と同じようにエクセルで描きました．
理工学の分野では，数式をグラフとしてイメージすることも重要となります．